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高中数学第一章坐标系复*课检测含解析新人教A版选修4_4

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第一章 坐标系 复 * 课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1.关于伸缩变换的定义的易错点. 对于*面直角坐标系中的伸缩变换关系式? ? ?x′=λ ?y′=μ ? x(λ >0), y(μ >0), 要区分(x,y)与(x′, y′)的意义.在应用时必须注意:点(x,y)在原曲线上,点(x′,y′)在变换后的曲线上, 因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x′,y′)的坐标满足变换后的曲线方程. 2.关注直角坐标与极坐标互化的疑难点. 由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限,才能确定 θ 的大小. 3.处理极坐标系问题中的两个易错点. (1)当极坐标方程中仅含 θ (不含 ρ )时,常常忽略 ρ 的正负导致判断错误. (2) * 面 直 角 坐 标 系 中 两 点 A(x1 , 2 2 y1) , B(x2 , y2) 之 间 的 距 离 |AB| = (x1-x2) +(y1-y2) ,极坐标系中两点 P1(ρ 1,θ 1),P2(ρ 2,θ 2)之间的距离|P1P2| = ρ 1+ρ 2-2ρ 1ρ 2cos(θ 1-θ 2).在应用时往往因记忆不清而导致计算错误. 2 2 专题一 *面上的伸缩变换 1.点 P(x,y)变为点 Q(x′,y′)的伸缩变换为: ? ?x′=λ ? ?y′=μ ? x(λ >0), y(μ >0). 2.变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者,若知道其中的两个,我们 可以求出第三个.但在进行伸缩变换时,要注意点的对应性,即分清新旧坐标,P(x,y)是 变换前的坐标,Q(x′, y′)是变换后的坐标. [例 1] 在同一*面直角坐标系中,经过伸缩变换? 2 2 ? ?x′=2x, ?y′=2y ? 后,曲线 C 变成曲线(x′ -5) +(y′+6) =1,求曲线 C 的方程,并判断其形状. 点拨:考查伸缩变换? 线方程. 解:将? ? ?x′=2x, ?y′=2y ? 2 ?x′=λ ? ?y′=μ ? x(λ >0), y(μ >0), 将新坐标代入到已知曲线中,即可得到原曲 代入(x′-5) +(y′+6) =1 中得: 2 2 2 (2x-5) +(2y+6) =1, 2 1 ? 5? 2 化简得曲线 C 的方程为?x- ? +(y+3) = , 4 ? 2? 1 ?5 ? 则该曲线是以? ,-3?为圆心, 为半径的圆. 2 2 ? ? 归纳升华 函数 y=f(ω x)(x∈R)(其中 ω >0,且 ω ≠1)的图象,可以看做把 f(x)图象上所有点 的横坐标缩短(当 ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时)为原来的 1 (纵坐标不变)而得到的. 函数 y ω =Af(x)(x∈R)(其中 A>0, 且 A≠1)的图象, 可以看做把 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.图形变换中的伸缩变换 我们可记作? ?x′=λ ? ? ?y′=μ x(λ >0), y(μ >0), 在使用时,需分清新旧坐标. ? ?x′=3x, ?y′=-2y, ? 2 [变式训练] 在*面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ :? 求曲线 y =2x 经 过 φ 变换后所得的曲线方程. 解:设 P′(x′,y′)是直线 l′上任意一点. x′ x= , ? ? 3 ?x′=3x, ? 由伸缩变换 φ :? 得? ? 1 ?y′=-2y, y=- y′, ? ? 2 1 2 2 2 代入 y =2x,得 y′ = x′, 4 3 8 2 即 y′ = x′, 3 8 2 因此变换后曲线的方程为 y′ = x′. 3 专题二 直线和圆的极坐标方程 直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型,一般思路是将曲线上的点满 足的几何条件用坐标表示出来,然后化简、整理.应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程, 如 ρ =2acos θ (a≠0),ρ =2asin θ (a≠0),ρ =r(r>0)及 ρ cos θ =a,ρ sin θ =a, θ =α ,ρ =2acos(θ -α )(α ≠2kπ ,k∈Z). [例 2] 在直角坐标系 Oxy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C π? ? 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3? ? (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? 3 ?1 ? ? 解:(1)由 ρ cos?θ - ?=1 得 ρ ? cos θ + sin θ ?=1, 3 ? ? 2 ?2 ? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+ 3y=2, 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0), 当θ = π 2 3 ?2 3 π ? 时,ρ = ,所以 N? , ?. 2 3 2? ? 3 (2)点 M 的直角坐标为(2,0), 点 N 的直角坐标为?0, ? ? 2 3? ?, 3 ? 所以 MN 的中点 P 的直角坐标为?1, ? ? 3? ?, 3? ?2 3 π ? 所以点 P 的极坐标为? , ?, 6? ? 3 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = 归纳升华 此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力,应掌握把极坐标方程化为直 角坐标方程的常用方法. [ 变式训练 ] 在极坐标系中, P 是曲线 ρ = 12sin θ 上的动点, Q 是曲线 ρ = π (ρ ∈R). 6 ? 12cos?θ - ? π? 上的动点,试求|PQ|的最大值. 6? ? 2 解:因为 ρ =12sin θ ,所以 ρ =12ρ sin θ , 所以 x +y -12y=0, 即 x +(y-6) =36. 2 2 2



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