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三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页)

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第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布

数理统计中常用的分布除正态分布外,还有 三个非常有用的连续型分布,即

2分布
t 分布 F分布

数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.

在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、

t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.

(2 卡方)——分布

定义1:设总体X ~ N 0,1 , X1, X2,..., Xn 是X 的一

个样本,则统计量 2



X12



X

2 2

L



X

2 n

的概率密度函数为

f

(

x)





2

n 2

1 (

n

)

x

n 2

1
e

x 2

   x



0

2

0         x 0

其中(t) xt1exdx(t 0)为函数。 0

则称统计量 2



X

2 1



X

2 2

L



X

2 n

服从自由度为n的



2

分布

记作 2 ~ 2 (n)

注:自由度是指独立随机变量的个数,df n
2(n) 分布密度函数的图形

f(y)

0.5 0.4

n=1

0.3 0.2

n=4

0.1

n=10

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4

其图形随自由度的 不同而有所改变.

性质1: 2分布的数学期望与方差
设 2~ 2(n),则E( 2)=n,D( 2)=2n.

性质2: 2分布的可加性



2 1

~

2(n1),



2 2

~

2(n2),

且12,

22 相互独立,





2 1





2 2

~



2(n1



n2)

性质3:设 2~ 2 (n), 则对任意实数 x有

lim

P



2



n



x



1

t2 x
e 2 dt

n 2n

2

这个性质说明当n很大时,自由度为n的 2分布*似
于正态分布N(n,2n).

定理1 设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体X~N( , 2)

n

(Xi )2

的样本,则 i1
2

~ 2(n)

证明 由已知,有

Xi~N( , 2)且X1,X2,…,Xn相互独立,



Xi




~

N(0,1)且各

Xi




相互独立,

由定义1 :得

n

2



n i1

Xi




2



(Xi
i 1
2

)2

~

2(n).

定理3 : 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体
X~N( , 2)的样本,则

(1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立;

n

(2)

(n 1)S2
2



(Xi
i 1
2

X)2

~

2(n 1)

(4.1)

(4.1)式的自n 由度为什么是n-1?

从表面上看, (Xi X)2是n个正态随机变量 X i X 的*方和,

但实际上它们不i是1 独立的,它们之间有一种线性约束关系:

n

n

(Xi X) Xi nX =0

这表明,当这i1个n个正态随机i变1 量中有n-1个取值给定时,剩下

的一个的取值就跟着唯一确定了,故在这n项*方和中只有n-1

项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.

定理3: 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体
X~N( , 2)的样本,则

(1)

样本均值 X与样本方差S 2相互独立; n

(2)

(n 1)S2
2



(Xi
i 1
2

X)2

~

2(n 1)

(4.1)

与以下补充性质的结论比较:

性质 设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体

n

(Xi )2

X~N( , 2)的样本,则 i1 2

~ 2(n)

2分布的上侧分位点
定义2:设 2~ 2 (n),对于给定的正数(0 1), 称

满足条件

     P 2 2 (n)




f (x)dx
2 (n)

的点2 (n)为 2 (n)分布的上侧分位点。

其几何意义见图5-5所示.

f(x)



其中f(x)是 2-分布的概率密度. O

图5-5 2(n) x

显然,在自由度n取定以后,2(n)的值只与有关.

例如,当n=21,=0.05时,由附表3(P254)可查得,
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.

二、t分布

定义3 设随机变量X~N(0,1),Y~ 2(n) ,

且X与Y相互独立,则称统计量 T X Y

n

服从自由度为n的t分布,记作 T ~t(n).

t分布的概率密度函数为

f(t)

(n

2

1)

n (n2)

(1

t2 n

)

n1
2,

( t )

其图形如图5-6所示(P106),其形状类似标准正态分布
的概率密度的图形.

当n较大时, t分布*似于标准正态分布.

定理4 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体
X~N( , 2)的样本,则统计量

T X ~t(n -1)
S/ n

证 由于 X 与S 2相互独立,且

U



X





n

~

N(0,1),

(n 1)S2
2

~



2(n 1)

由定义3得
X

n

(n 1)S 2
2

(n 1)



X S


n

T

~

t(n 1)

定理5 设(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2) 分
别是来自正态总体N(1 ,2)和N(2 ,2)的样本,且
它们相互独立,则统计量

T



X

Y Sn

(1 2)

1 n1



1 n2

~

t(n1

n2



2)

其中Sn

(n1



1)S12 n1

(n2
n2 2

1)S22

,

S12、S22 分别为两总体的样本方差.

(5.10)

证明:由例知X Y (1 2 ) ~N(0,1) 2 2
n1 n2



(n1

1) S12
2



2

(n1

1),

(n2



1)

S

2 2

2



2

(n2

1)

且S12与S

2相互
2

独立

,由

2分布

的性

质知

(n1 1)S12
2



(n2 1)S22
2

~ 2 (n1



n2

2)

再由定义3知

T



X

Y Sn

( 1

1


1



2

)

~t(n1

n1 n2

n2

- 2)

t 分布的上侧分位点

对于给定的 (0< <1),称满足条件

PT t(n)


f(t)dt
t(n)

的点t(n)为t分布的上分位点。

其几何意义见图5-7.

f(t)


O t(n) t
图5-7

t 分布的双侧分位点 由于t分布的对称性,称满足条件

P T t 2(n) (5.12)

的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。

其几何意义如图5-8所示.

f(t)

/2

/2

- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8

在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表.
例如,当n=15,=0.05时,查t分布表得,

t0.05(15)= 1.753

t0.05/2(15)= 2.131

其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.

但当n>45时,如无详细表格可查,可以用标准 正态分布代替t分布查t(n)的值.
即 t(n)≈u , n>45.
一般的t分布临界值表中,详列至n=30,当 n>30就用标准正态分布N(0, 1)来*似.

三、F分布

定义5.5 设随机变量X~ 2(n1)、Y~ 2(n2),且

与相互独立,则称随机变量

F



X Y

n1 n2

服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,

记作 F~F(n1,n2).

概率密度函数

f(y)



Ay

n1 2

1(1



0,

n1 n2

y)

n1

2

n2

,

y0 y0

其中 A



(n1

2

n2

)

(

n1 2

)(n22

)

(nn12

)

n1 2

,

其图形见图5-9.(P108)

性质:若X~F(n1,n2),则

1 X

~F(n2,n1).

F 分布的上侧分位点

对于给定的 (0< <1),称满足条件



P

F(n1, n2) F(n1, n2)



f(y)dy
F(n1,n2)

的数F(n1,n2)为F分布的上侧分位点。

其几何意义如图5-7所示. f(y)

其中f(y)是F分布的概率密度.



O

图5-7 F(n1, n2) x

F 分布的上侧分位点

F(n1, n2)的值可由F 分布表查得.
附表5、6、7(P258~P266 )分 =0.1、 =0.05、
=0.01给出了F分布的上分位数.

查表时应先找到相应的值的表.

当时n1=2, n2=18时,有F0.01(2, 18)= 6.01

在附表5、6、7中所列的值都比较小,当 较大

时,可用下面公式

F1(n1, n2)



1 F(n2, n1)

例如,F0.99(18, 2)



1 F0.01(2,18)



1 6.01

≈0.166

定理5.4 设 n1, S12为正态总体N(1, 12)的样本容 量和样本方差;n2, S22为正态总体 N(2, 22)的样本容
量和样本方差;且两个样本相互独立,则统计量

证明

S12 S22
由已知条12件知22

~

F(n1 1, n2 1)

且(n相1 互112独)S立12 ,~由F2(n分1 布 1的),定义(n有2

1)S22
2
2

~



2(n2

1)

(n1 1)S12



2 1

(n2 1)S22



2 2

(n1 1) (n2 1)



S12



2 1

S22



2 2

~

F(n1 1, n2 1)

U—分布 正态总体样本均值的分布

设总体 X ~ N , 2 , X1, X2,..., Xn 是 X 的一
个样本, 则样本均值服从正态分布

U



X





1 n

n i1

Xi



~

N

0,1

n n

X



1 n

n i 1

Xi

~

N





,

2
n



2 ——分布

定义 设总体 X ~ N 0,1 , X1, X2,..., Xn 是 X

的一个样本,

则称统计量

2



X

2 1



X

2 2

L



X

2 n

服从自

由度为n的 2 分布,记作 2 ~ 2 (n)

自由度是指独立随机变量的个数, df n

n个相互独立的标准正态分布之*方和 服从自由度为n的 2 分布

t—分布
定义5.4 设随机变量X~N(0,1),Y~ 2(n) ,

且X与Y相互独立,则称统计量 T

X Y

n

服从自由度为n的t分布或学生氏分布,记作T ~t(n).

N 0,1
2(n) ~ t(n)
n

t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密 度函数.当n较大时, t分布*似于标准正态分布.

F分布

定义5.5 设随机变量X~ 2(n1)、Y~ 2(n2),且

与相互独立,则称随机变量

F



X Y

n1 n2

服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布,

记作 F~F(n1,n2).

(2 n1)
(2 n2)

n1 n2

~F

n1, n2

例1 设总体X~N(0,1), X1,X2,…,Xn为简单

随(1机) 样XX本132,试XX2问42 下; 列(2统) 计n量n各1XX服i21从; 什(么3)分(n3布?n1)Xi31i2

X

2 i

.

i2

i4

解 (1) 因为Xi~N(0,1),i=1, 2, …, n. 所以

X1-X2 ~N(0, 2),

X

2 3



X

2 4

~



2(2),

X1

X2 2

~

N(0,1),



X1 X2

X

2 3



X

2 4



(X1

X

X 2)

2 3



X

2 4

2

~t(2).

2

例1 设总体X~N(0,1), X1,X2,…,Xn为简单

随(1机) 样XX本132,试XX2问42 下; 列(2统) 计n量n各1XX服i21从; 什(么3)分(n3布?n1)Xi31i2

X

2 i

.

i2

i4

n

续解 (2) 故

因为X1~N(0,1),i2

X

2 i

~

2(n 1)

n
n

1X1



n

X1

~t(n-1).

X

2 i

X

2 i

(n 1)

i2

i2

例1 设总体X~N(0,1), X1,X2,…,Xn为简单

随(1机) 样XX本132,试XX2问42 下; 列(2统) 计n量n各1XX服i21从; 什(么3)分(n3布?n1)Xi31i2

X

2 i

.

i2

i4

3

n

续解 (3) 因为

X

2 i

~



2(3),

X

2 i

~



2(n



3),

i 1

i4

所以

(n3

3
1)
i 1 n

X

2 i



3

X

2 i

i 1

n

3

~F(3,n-3).

X

2 i

X

2 i

(n 3)

i4

i4

例2 若T~t(n), 问T2服从什么分布?

解 因为T~t(n),可以认为

T

U V

n

,

其中U~N(0,1), V~2(n),

T

2



U V

2
n

,

U2~2(1),

T

2



U2 V

1 n



F(1,

n).

例3 设总体X~N( , 42), X1,X2,…,X10是n=10
简单随机样本, S2为样本方差,已知P{S2>}=0.1,

求 . 解 因为n=10,n-1=9, 2=42,所以

9S 2 42

~2(9).



P{S2>

}=P{94S22



9
42

}=0.1,

所以

9
42



02.1(9)≈查 14.684.







14.684x

16 9

≈26.105




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