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【名师推荐】2019年陕西省西安市雁塔区中考数学一模试卷(含精品解析)

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2019 年陕西省西安市雁塔区中考数学一模试卷
一.选择题(共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分) 1. ﹣2 的绝对值是(  ) B. C. D.1

A.2

2.如图,由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是(  )

A.

B.

C.

D.

3.下列计算正确的是(  ) A.a?a2=a2 C.3a+2a=5a2 B.(a2)2=a4 D.(a2b)3=a2?b3

4.如图,将直尺与含 30°角的三角尺摆放在一起,若∠1=20°,则∠2 的度数是(  )

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

5.已知 y 关于 x 成正比例,且当 x=2 时,y=﹣6,则当 x=1 时,y 的值为(  ) A.3 B.﹣3 C.12 D.﹣12

6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD、CE 分别是△ABC 的中线和角*分线.若∠CAD=20°,则 ∠ACE 的度数是(  )

A.20°

B.35°

C.40°

D.70°

7.在同一*面直角坐标系中,直线 y=2x+3 与 y=2x﹣5 的位置关系是(  ) A.*行 B.相交 C.重合 D.垂直

8.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=9,点 E 在边 AD 上,AE=1,过 E、D 两点的圆的圆心 O 在边 AD 的上方,直线 BO 交 AD 于点 F,作 DG⊥BO,垂足为 G.当△ABF 与△DFG 全等时, ⊙O 的半径为(  )

A.

B.

C.

D.

9.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD⊥BC 于点 D,AC=4,则 OD 的长为(  )

A.1

B.1.5

C.2

D.2.5

10.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),且满足 4a+2b+c>0,有下列结论: ①a+b>0;②﹣a+b+c>0;③b2﹣2ac>5a2.其中,正确结论的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3

二.填空题(共 4 小题,满分 12 分,每小题 3 分) 11.不等式﹣9+3x≤0 的非负整数解的和为  12.如果 3sinα= +1,则∠α=   .

 .(精确到 0.1 度)

13.如图,在*面直角坐标系中,直线 y= x 与双曲线 y= (k≠0)交于点 A,过点 C(0,2) 作 AO 的*行线交双曲线于点 B,连接 AB 并延长与 y 轴交于点 D(0,4),则 k 的值为  .  

14.已知等边三角形 ABC 边长为 2,两顶点 A、B 分别在*面直角坐标系的 x 轴负半轴、y 轴的正 半轴上滑动,点 C 在第四象限,连结 OC,则线段 OC 长的最小值是   .

三.解答题(共 11 小题) 15.计算: +tan60°﹣(sin45°)﹣1﹣|1﹣ |

16.计算:

+

17.已知:△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,用尺规求作一条过点 B 的直线,使得截出的一个三 角形与△ABC 相似.(保留作图痕迹,不写作法)

18.某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况,随机调査了部分学生一周内参加课外辅导班 的学科数,并将调查结果绘制成如图 1、图 2 所示的两幅不完整统计图(其中 A:0 个学科, B:1 个学科,C:2 个学科,D:3 个学科,E:4 个学科或以上),请根据统计图中的信息,解 答下列问题:

(1)请将图 2 的统计图补充完整; (2)根据本次调查的数据,每周参加课外辅导班的学科数的众数是   个学科;

(3)若该校共有 2000 名学生,根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在 3 个学科(含 3 个学科)以上的学生共有   人.

19.如图,在?CBCD 中,E 是对角线 BD 上的一点,过点 C 作 CF∥DB,且 CF=DE,连接 AE,BF,EF. (1)求证:△ADE≌△BCF; (2)若∠ABE+∠BFC=180°,则四边形 ABFE 是什么特殊四边形?说明理由.

20.如图,小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B.当他走到点 P 时,发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯 A 的底部;当他向前再步行 12m 到达点 Q 时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B 的 底部.已知小华的身高是 1.6m,两个路灯的高度都是 9.6m,且 AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离. (2)当小华走到路灯 B 的底部时,他在路灯 A 下的影长是多少?

21.由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防 雾霾口罩共 20 万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表: 甲 乙

原料成本 销售单价 生产提成

12 18 1

8 12 0.8

(1)若该公司五月份的销售收入为 300 万元,求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只? (2)公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成,如果公司六月份投入 总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过 239 万元,应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可 使该月公司所获利润最大?并求出最大利润(利润=销售收入﹣投入总成本) 22.汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两 局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜.假如甲,乙两队每局获胜的机会 相同. (1)若前四局双方战成 2:2,那么甲队最终获胜的概率是   ;

(2)现甲队在前两局比赛中已取得 2:0 的领先,那么甲队最终获胜的概率是多少? 23.如图,AB 是⊙O 的直径,直线 AT 切⊙O 于点 A,BT 交⊙O 于 C,已知∠B=30°, AT= ,求⊙O 的直径 AB 和弦 BC 的长.

24.在*面直角坐标系 xOy 中抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C,已知 A(﹣1,0), C(0,3).

(1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,P 为线段 BC 上一点,过点 P 作 y 轴*行线,交抛物线于点 D,当△BCD 的面积 最大时,求点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线顶点为 E,EF⊥x 轴于 F 点,N 是线段 EF 上一动点,M(m,0)是 x 轴上 一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数 m 的取值范围. 25.如图,△BCD 内接于⊙O,直径 AB 经过弦 CD 的中点 M,AE 交 BC 的延长线于点 E,连接

AC,∠EAC=∠ABD=30°. (1)求证:△BCD 是等边三角形; (2)求证:AE 是⊙O 的切线; (3)若 CE=2,求⊙O 的半径.

2019 年陕西省西安市雁塔区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分) 1.【分析】根据差的绝对值是大数减小数,可得答案. 【解答】解: 故选:A. 【点评】本题考查了实数的性质,差的绝对值是大数减小数. 2.【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中. 【解答】解:从左面看易得第一层有 2 个正方形,第二层最左边有一个正方形. 故选:B. 【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图. 3.【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,幂的乘方底数不变指数相乘,合并同类项系 数相加字母及指数不变,积的乘方等于乘方的积,可得答案. 【解答】解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 A 错误; B、幂的乘方底数不变指数相乘,故 B 正确; C、合并同类项系数相加字母及指数不变,故 C 错误; D、积的乘方等于乘方的积,故 D 错误; 故选:B. 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方,熟记法则并根据法则计算是解题关键. 4.【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数,再根据*行线的性质得到∠2 的度数. 【解答】解:如图,∵∠BEF 是△AEF 的外角,∠1=20°,∠F=30°, ∴∠BEF=∠1+∠F=50°, ∵AB∥CD, ∴∠2=∠BEF=50°, 故选:C. ﹣2 的绝对值是 2﹣ .

【点评】本题主要考查了*行线的性质,解题的关键是掌握三角形外角的性质. 5.【分析】先利用待定系数法求出 y=﹣3x,然后计算 x=1 对应的函数值. 【解答】解:设 y=kx, ∵当 x=2 时,y=﹣6, ∴2k=﹣6,解得 k=﹣3, ∴y=﹣3x, ∴当 x=1 时,y=﹣3×1=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式:设正比例函数解析式为 y=kx(k≠0), 然后把一个已知点的坐标代入求出 k 即可. 6.【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB,根据三角形内 角和定理求出∠ACB,根据角*分线的定义计算即可. 【解答】解:∵AB=AC,AD 是△ABC 的中线, ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∴∠ACB= =70°,

∵CE 是△ABC 的角*分线, ∴∠ACE= ∠ACB=35°, 故选:B. 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的中线和角*分线以及三角形内角和定理, 掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键. 7.【分析】根据直线 y=2x+3 与 y=2x﹣5 中的 k 都等于 2,于是得到结论. 【解答】解:∵直线 y=2x+3 与 y=2x﹣5 的 k 值相等, ∴直线 y=2x+3 与 y=2x﹣5 的位置关系是*行, 故选:A.

【点评】本题考查了两条直线相交或*行问题,知道两直线的 k 值相等时两直线*行是解题的 关键. 8.【分析】根据全等三角形的性质得到 BF=DF,根据矩形的性质得到∠A=90°,根据勾股定理 得到 AF=4,连接 OE,OD,则 OE=OD,过 O 作 OH⊥AD 于 H,则 HE=HD=4,根据相似 三角形的性质得到 OH= ,根据勾股定理列方程即可得到结论. 【解答】解:∵△ABF 与△DFG 全等, ∴BF=DF, ∵AD=9, ∴BF=9﹣AF, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=90°, ∴AB2+AF2=BF2, 即 32+AF2=(9﹣AF)2, 解得:AF=4, ∵AE=1, ∴EF=3,DE=8, 连接 OE,OD, 则 OE=OD, 过 O 作 OH⊥AD 于 H, 则 HE=HD=4, ∴FH=1, ∵∠A=∠OHF=90°,∠AFB=∠OFH, ∴△ABF∽△HOF, ∴ 即 , ,

∴OH= , 在 Rt△ODH 中,OD= 故选:B. = ,

【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理, 正确的作出辅助线是解题的关键. 9.【分析】由 OD⊥BC,根据垂径定理,可得 CD=BD,即可得 OD 是△ABC 的中位线,则可求 得 OD 的长. 【解答】解:∵OD⊥BC, ∴CD=BD, ∵OA=OB,AC=4 ∴OD= AC=2. 故选:C. 【点评】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思 想的应用. 10.【分析】利用题意画出二次函数的大致图象,利用对称轴的位置得到﹣ > ,则可对①进

行判断;利用 a<0,b>0,c>0 可对②进行判断;由 a﹣b+c=0,即 b=a+c,则 4a+2(b+c) +c>0,所以 2a+c>0,变形 b2﹣2ac﹣5a2=﹣(2a+c)(2a﹣c),则可对③进行判断. 【解答】解:如图,∵抛物线过点(﹣1,0),且满足 4a+2b+c>0, ∴抛物线的对称轴 x=﹣ > ,

∴b>﹣a,即 a+b>0,所以①正确; ∵a<0,b>0,c>0, ∴﹣a+b+c>0,所以②正确; ∵a﹣b+c=0,即 b=a+c, ∴4a+2(b+c)+c>0, ∴2a+c>0, ∴b2﹣2ac﹣5a2=(a+c)2﹣2ac﹣5a2=﹣(2a+c)(2a﹣c), 而 2a+c>0,2a﹣c<0, ∴∴b2﹣2ac﹣5a2>0,即 b2﹣2ac>5a2.所以③正确.

故选:D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大 小.当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时,对称轴在 y

轴右.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c).抛物线与 x 轴交点个数由 判别式确定:△=b2﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b2﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 二.填空题(共 4 小题,满分 12 分,每小题 3 分) 11.【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集,找出不等式的非负整数解相加即可. 【解答】解:﹣9+3x≤0, 3x≤9, ∴x≤3, ∴不等式﹣9+3x≤0 的非负整数解有 0,1,2,3, 即 0+1+2+3=6. 故答案为:6. 【点评】本题主要考查对解一元一次不等式,不等式的性质,一元一次不等式的整数解等知识 点的理解和掌握,能根据不等式的解集找出不等式的非负整数解是解此题的关键. 12.【分析】根据计算器可以计算出∠α 的度数,从而可以解答本题. 【解答】解:∵3sinα= ∴sinα= , +1,

解得,∠α≈65.5°, 故答案为:65.5°. 【点评】本题考查计算器﹣三角函数,解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值.

13.【分析】根据“直线 y= x 与双曲线 y= (k≠0)交于点 A,过点 C(0,2)作 AO 的*行 线交双曲线于点 B”,得到 BC 的解析式,根据“OD=4,OC=2,BC∥AO”,得到△ BCD~△AOD,结合点 A 和点 B 的坐标,根据点 A 和点 B 都在双曲线上,得到关于 m 的方程, 解之,得到点 A 的坐标,即可得到 k 的值. 【解答】解:∵OA 的解析式为:y= ,

又∵AO∥BC,点 C 的坐标为:(0,2), ∴BC 的解析式为:y= 设点 B 的坐标为:(m, , m+2),

∵OD=4,OC=2,BC∥AO, ∴△BCD~△AOD, ∴点 A 的坐标为:(2m, m),

∵点 A 和点 B 都在 y= 上, ∴m( )=2m? m,

解得:m=2, 即点 A 的坐标为:(4, ), k=4× = 故答案为: , .

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,正确掌握代入法和三角形相似的判定 定理是解题的关键. 14.【分析】利用等边三角形的性质得出 C 点位置,进而求出 OC 的长. 【解答】解:如图所示:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E, 当点 C,O,E 在一条直线上,此时 OC 最短, ∴△ABC 是等边三角形, ∴CE 过点 O,E 为 BD 中点,则此时 EO= AB=1, 故 OC 的最小值为:OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣ ×AB= 故答案为: ﹣1. ﹣1.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质,得出当点 C,O,E 在一条直线上, 此时 OC 最短是解题关键. 三.解答题(共 11 小题) 15.【分析】将特殊锐角的三角函数值代入,同时化简二次根式、计算绝对值,再进一步计算可 得. 【解答】解:原式=3 =3 =2 + ﹣ ﹣ +1 + ﹣( )﹣1﹣( ﹣1)

+1.

【点评】本题主要考查实数的运算,解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及 特殊锐角的三角函数值. 16.【分析】原式先计算除法运算,再计算加减运算即可求出值.

【解答】解:原式= +

?

= +



+





【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 17.【分析】根据三角形相似的作图解答即可.

【解答】解:如图,直线 BD 即为所求. 【点评】此题主要考查相似图形的作法,关键是根据三角形相似的作图. 18.【分析】(1)由 A 的人数及其所占百分比求得总人数,总人数减去其它类别人数求得 B 的人 数即可补全图形; (2)根据众数的定义求解可得;

(3)用总人数乘以样本中 D 和 E 人数占总人数的比例即可得. 【解答】解:(1)∵被调查的总人数为 20÷20%=100(人), 则辅导 1 个学科(B 类别)的人数为 100﹣(20+30+10+5)=35(人), 补全图形如下:

(2)根据本次调查的数据,每周参加课外辅导班的学科数的众数是 1 个学科, 故答案为:1;

(3)估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在 3 个学科(含 3 个学科)以上的学生共有 2000× =300(人),

故答案为:300. 【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识, 利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键. 19.【分析】(1)根据*行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可; (2)根据*行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可. 【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∵CF∥DB, ∴∠BCF=∠DBC, ∴∠ADB=∠BCF 在△ADE 与△BCF 中

, ∴△ADE≌△BCF(SAS). (2)四边形 ABFE 是菱形 理由:∵CF∥DB,且 CF=DE, ∴四边形 CFED 是*行四边形, ∴CD=EF,CD∥EF, ∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴AB=EF,AB∥EF, ∴四边形 ABFE 是*行四边形, ∵△ADE≌△BCF, ∴∠AED=∠BFC, ∵∠AED+∠AEB=180°, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE, ∴四边形 ABFE 是菱形. 【点评】此题考查*行四边形的性质,关键是根据*行四边形的性质和全等三角形的判定以及 菱形的判定解答. 20.【分析】(1)如图 1,先证明△APM∽△ABD,利用相似比可得 AP= AB,再证明△ BQN∽△BAC,利用相似比可得 BQ= AB,则 AB+12+AB=AB,解得 AB=18(m); (2)如图 1,他在路灯 A 下的影子为 BN,证明△NBM∽△NAC,利用相似三角形的性质得 = ,然后利用比例性质求出 BN 即可.

【解答】解:(1)如图 1, ∵PM∥BD, ∴△APM∽△ABD, = ,即 = ,

∴AP= AB,

∵NQ∥AC, ∴△BNQ∽△BCA, ∴ = ,即 = ,

∴BQ= AB, 而 AP+PQ+BQ=AB, ∴ AB+12+ AB=AB, ∴AB=18. 答:两路灯的距离为 18m; (2)如图 1,他在路灯 A 下的影子为 BN, ∵BM∥AC, ∴△NBM∽△NAC, ∴ = ,即 = ,解得 BN=3.6.

答:当他走到路灯 B 时,他在路灯 A 下的影长是 3.6m.

【点评】本题考查了相似三角形的应用:通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的 比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决. 21.【分析】(1)设甲型号的产品有 x 万只,则乙型号的产品有(20﹣x)万只,根据销售收入为 300 万元列出方程,求出方程的解即可得到结果;

(2)设安排甲型号产品生产 y 万只,则乙型号产品生产(20﹣y)万只,根据公司六月份投入总 成本(原料总成本+生产提成总额)不超过 239 万元列出不等式,求出不等式的解集确定出 y 的 范围,再根据利润=售价﹣成本列出 W 与 y 的一次函数,根据 y 的范围确定出 W 的最大值即 可. 【解答】解:(1)设甲型号的产品有 x 万只,则乙型号的产品有(20﹣x)万只, 根据题意得:18x+12(20﹣x)=300, 解得:x=10, 则 20﹣x=20﹣10=10, 则甲、乙两种型号的产品分别为 10 万只,10 万只; (2)设安排甲型号产品生产 y 万只,则乙型号产品生产(20﹣y)万只, 根据题意得:13y+8.8(20﹣y)≤239, 解得:y≤15, 根据题意得:利润 W=(18﹣12﹣1)y+(12﹣8﹣0.8)(20﹣y)=1.8y+64, 当 y=15 时,W 最大,最大值为 91 万元. 【点评】此题考查了一元一次方程的应用,以及一次函数的应用,弄清题中的等量关系是解本 题的关键. 22.【分析】(1)直接利用概率公式求解; (2)画树状图展示所有 8 种等可能的结果数,再找出甲至少胜一局的结果数,然后根据概率公 式求. 【解答】解:(1)甲队最终获胜的概率是 ; 故答案为 ; (2)画树状图为:

共有 8 种等可能的结果数,其中甲至少胜一局的结果数为 7, 所以甲队最终获胜的概率= . 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从

中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率. 23.【分析】连接 AC,如图所示,由 AT 与圆 O 相切,得到 BA 垂直于 AT,在直角三角形 ABT 中, 利用锐角三角函数定义求出 AB 的长,根据 AB 为圆 O 的直径,利用直径所对的圆周角为直角得 到∠ACB=90°,在直角三角形 ABC 中,利用锐角三角函数定义即可求出 BC 的长. 【解答】解:连接 AC,如图所示: ∵直线 AT 切⊙O 于点 A, ∴∠BAT=90°, 在 Rt△ABT 中,∠B=30°,AT= ∴tan30°= ,即 AB= , =3;

∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, 在 Rt△ABC 中,∠B=30°,AB=3, ∴cos30°= , .

则 BC=AB?cos30°=

【点评】此题考查了切线的性质,锐角三角函数定义,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质 是解本题的关键. 24.【分析】(1)由 y=﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C,A(﹣1,0),C(0,3),利用待定系数 法即可求得此抛物线的解析式; (2)首先令﹣x2+2x+3=0,求得点 B 的坐标,然后设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′,由待定 系数法即可求得直线 BC 的解析式,再设 P(a,3﹣a),即可得 D(a,﹣a2+2a+3),即可求 得 PD 的长,由 S△BDC=S△PDC+S△PDB,即可得 S△BDC=﹣ (a﹣ )2+ 性质,即可求得当△BDC 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m=(n﹣ )2﹣ ,然后根据 n 的 ,利用二次函数的

取值得到最小值. 【解答】解:(1)由题意得: 解得: ,



∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3;

(2)令﹣x2+2x+3=0, ∴x1=﹣1,x2=3, 即 B(3,0), 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′, ∴ 解得: , ,

∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3, 设 P(a,3﹣a),则 D(a,﹣a2+2a+3), ∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a, ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB = PD?a+ PD?(3﹣a) = PD?3 = (﹣a2+3a) =﹣ (a﹣ )2+ ,

∴当 a= 时,△BDC 的面积最大,此时 P( , );

(3)由(1),y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴E(1,4), 设 N(1,n),则 0≤n≤4, 取 CM 的中点 Q( , ), ∵∠MNC=90°,

∴NQ= CM, ∴4NQ2=CM2, ∵NQ2=(1﹣ )2+(n﹣ )2, ∴4[=(1﹣ )2+(n﹣ )2]=m2+9, 整理得,m=n2﹣3n+1,即 m=(n﹣ )2﹣ , ∵0≤n≤4, 当 n= 上,M 最小值=﹣ ,n=4 时,M 最小值=5, 综上,m 的取值范围为:﹣ ≤m≤5.

【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值 问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌 握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用. 25.【分析】(1)由 AB 是⊙O 的直径,M 是 CD 的中点知 AB⊥CD,BD=BC,结合 ∠ABD=∠ABC=30°,即∠CBD=60°即可得证; (2)先证 AE∥CD,由 AB⊥CD 知 AE⊥AB,据此即可得证; (3)由 AB 是直径知∠ACB=∠ACE=90°,由∠EAC=30°知 AE=2CE=4,∠ABE=30°知 BE=2AE=8,根据勾股定理可得直径 AB 的长,从而得出答案. 【解答】证明:(1)∵AB 是⊙O 的直径,M 是 CD 的中点, ∴AB⊥CD, ∴BD=BC, ∴∠ABD=∠ABC=30°,即∠CBD=60°, ∴△BCD 是等边三角形;

(2)∵∠EAC=∠ABD,∠ABD=∠ACD, ∴∠EAC=∠ACD, ∴AE∥CD, 由(1)知 AB⊥CD, ∴AE⊥AB, ∵点 A 在⊙O 上, ∴∴AE 是⊙O 的切线;

(3)∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACE=90°, ∵∠EAC=30°, ∴AE=2CE=4, 在 Rt△EAB 中,∠ABE=30°, ∴BE=2AE=8, ∴AB= ∴⊙O 的半径为 2 = . =4 ,

【点评】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握等边三角形的判定、圆心角定理、圆周角定 理和勾股定理等知识.




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