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《KS5U首发》湖北省襄阳市第五中学2017届高三第一次适应性考试(5月)+数学(理)+Word版含答案

发布时间:

2017 届襄阳五中高三年级第一次适应性考试

数学(理科) 试 题
命题人:涂圣义 审题人:肖计雄 张华齐
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分,将答案填在答题纸上) 1. 设全集 U=R,集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ,B ? {x | x ?1 ? 0} ,则图中阴影部分所表示 的集合为( ) A. {x | x ? ? 1 或 x ? 3} B. {x | x ? 1 或 x ? 3} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? ? 1}

2. 已知 i 是虚数单位,(1+ 2i) z1 = - 1+ 3i , z2 = 1 + (1 + i ) , z1 、 z2 在复*面上对应的 点分别为 A 、 B ,则 AB = ( A.31
2

10

) C. 31 D. 33

B.33
2

3. “ m ? 0 ” 是“方程 x ? my ? 1 表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列命题中的假命题是( ) A. . log2 3 ? log3 5 C. B. ?x ? (??,0), e x ? x ? 1
1

1 3 2 log 1 3?( ) ?3 2 2

D. ?x ? 0, x ? sin x

5. 李冶(1192--1279 ) ,真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚 年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究*面图形问题:求圆 的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中 水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩, 若方田的四边到水池的最*距离均为二十 步, 则圆池直径和方田的边长分别是 (注: 240 *方步为 1 亩, 圆周率按 3 *似计算) ( ) A.10 步,50 步 B.20 步,60 步 C.30 步,70 步 D.40 步, 80 步 6. 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin2? ? 2sin2? ,则( ) A. tan ?? ? ? ? ? 3tan ?? ? ? ? C. 3tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? B. tan ?? ? ? ? ? 2tan ?? ? ? ? D. 3tan ?? ? ? ? ? 2tan ?? ? ? ?

7. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某 几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A. C. 8. 已 知 向 B. D.4 量

??? ? OA ? ? 3,1?



??? ? OB ? ? ?1,3?

, )

???? ??? ? ??? ? ??? ? OC ? mOA ? nOB(m ? 0, n ? 0) ,若 m ? n ??1, 2? ,则 OC 的取值范围是(
A. ? 5, 2 5 ?

?

?

B. ? 5, 2 10

?

?
-1-

C.

?

5, 10

?

D. ? 5, 2 10 ?

?

?

9. 六名大四学生(其中 4 名男生、 2 名女生)被安排到 A, B, C 三所学校实*, 每所学校 2 人, 且 2 名女生不能到同一学校,也不能到 C 学校,男生甲不能到 A 学校,则不同的安排方 法为( ) A.24 B.36 C.16 D.18 10.如图,在 中, , ,点 为 的中点,将 沿 .若该三棱锥的 折起到 的位置,使 ,连接 ,得到三棱锥 所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( ) A. B. C. D. 11.已知圆 O 的半径为定长 r ,点 A 是*面内一定点(不与 O 重合) ,P 是圆 O 上任意一 点,线段 AP 的垂直*分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的

轨迹可能是下列几种:①椭圆,②双曲线,③抛物线,④直线,⑤点 A. ①②⑤ B.①②③ C.①④⑤ D.②③④ 2? ? ?? 2 12.设函数 f ? x ? = x· ex, g ? x ? ? x ? 2x , h ? x ? ? 2sin ? x ? ? ,若对任意的 x ? R , 3 ? ?6
都有 h ? x ? ? f ? x ? ? k ? ? g ? x ? ? 2? ? 成立,则实数 k 的取值范围是 A. ? ??, ? 1? e

? ?

1

? ?

B. ? ?2,

? ?

1 ? ?3 e ? ?

C. ? 2 ? , ?? ?

? ?

1 e

? ?

D. ?1 ? , ?? ?

? ?

1 e

? ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? 3x ? y ? 2 ? 0 ? ? 13.已知实数 x , y 满足 ? 3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,函数 3x 2 ? y 2 的最小值为 ?2 y ? 3 ? ?

1 ? ? 14.若 a ? 2? ? x ? x ? dx ,则在 ? x ? ? 的展开式中, x 的幂指数不是整数的项共有 3 ?3 x? ?
3

a

项。 15.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗骰子的点 数之和大于 8”.当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,则两颗骰子的点数之和大于 8 的概 率为______. 16.对 于 正 整 数 n , 设 xn 是 关 于 x 的 方 程 nx ? 2 x ? n ? 0 的 实 数 根 , 记
3

an ? ? ?? n ? 1? xn ? ? ? n ? 2 ? , 其 中 ? x? 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 , 则 1 . ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 ? ? 1007

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。是错误! 未找到引用源。中点,已知错误!未找到引用源。. (1)判断错误!未找到引用源。的形状; (2)若错误!未找到引用源。的三边长是连续三个正整数, B 求错误!未找到引用源。的余弦值。 D

A

C

-2-

18.(本题满分 12 分)随着社会发展,襄阳市在一天的上下班时段也 出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称,是 综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为 T,其范围 为[0,10],分别有 5 个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本 畅通; T∈[4 , 6) 轻度拥堵; T∈[6 , 8) 中度拥堵;T∈[8 , 10] 严重拥堵. 早高峰时段(T≥3 ), 从襄阳市交通指挥中心随机选取 了一至四马路之间 50 个交通路段, 依据交通指数数据绘制的直 方图如图所示: (I)据此直方图估算交通指数的中位数和*均数; (II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的 3 个路段至少有 2 个严重拥堵的概率是多 少? (III)某人*嗦飞纤檬奔淙舫┩ㄊ蔽 20 分钟,基本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 35 分钟,中度拥堵为 45 分钟,严重拥堵为 60 分钟,求此人用时间的数学期望.

19.(本题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中, ?C 为直角, AC ? BC ? 4 .沿 ?ABC 的中位 线 DE ,将*面 ADE 折起,使得 ?ADC ? 90? ,得到四棱锥 A ? BCDE . (Ⅰ)求证: BC ? *面 ACD ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积; (Ⅲ) M 是棱 CD 的中点,过 M 做*面 ? 与*面 ABC *行,设*面 ? 截四棱锥 A ? BCDE所得截面面积为 S ,试求 S 的值.

2 2 20.( 本题满分 12 分 ) 已知椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F , 0) 、 1 (-1 a b

F2 (1, 0) ,过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△ ABF2 的周长为 4 2 .
(1)求椭圆 C 的方程;

0) 作与直线 l *行的直线 m,且直线 m 与抛物线 y ? 4x 交于 P、Q 两点, (2)过点 ( 4, 若 A、P 在 x 轴上方,直线 PA 与直线 QB 相交于 x 轴上一点 M,求直线 l 的方程.
2

-3-

21. (本题满分 12 分)设函数 (1)若函数 的图象与直线 (2)当 时,求证:

. 相切,求 的值;

1 1 1 ? ? . ln x ln(x ? 1) ( x ? 1)(2 ? x)

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长

? 2 t ?x ? ? 2 度 . 已 知直 线 l 的 参 数 方程 是 ? ( t 为参数) ,曲 线 C 的 极 坐 标 方程 是 ?y ? 3? 2 t ? ? 2 2 ? cos ? ? 2sin ? . (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ( 2 )设直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,点 M 为 AB 的中点,点 P 的极坐标为 ? ( 2, ) ,求 | PM | 的值. 4
23. 24.选修 4 ? 5 :不等式选讲. 设函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? (1)若 f ? 0 ? ?

1 ( x ? R ,实数 a ? 0 ). a
(2)求证: f ? x ? ?

5 ,求实数 a 的取值范围; 2

2 .

-4-

襄阳五中 5 月适应(一)数学(理科)参考答案
DACAAB ABBDD 14.15 AC 15.

13 13. 4

5 12

16.2017

17.解: (I)设错误!未找到引用源。 则由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。中,由正弦定理得 错误!未找到引用源。 同理得错误!未找到引用源。 ????2 分 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ????4 分 即错误!未找到引用源。因为错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ??????6 分 错误!未找到引用源。是等腰三角形或直角三角形。 ??????7 分 (II)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。的三边长是连续三个正整数矛盾, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。是等腰三角形。 ??????8 分 在直角三角形 ADC 中,设两直角边分别为错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。得 n=4, ????10 分 由余弦定理或二倍角公式得错误!未找到引用源。 或错误!未找到引用源。 ????12 分 18 解析: (1)由直方图知:T∈[4,8)时交通指数的中位数在 T∈[5,6),且为 5+1× T∈[4,8)时交通指数的*均数为:???2 分 4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72. ???4 分 (2)设事件 A 为“1 条路段严重拥堵”,则 P(A)=0.1, 则 3 条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的概率为: P=C3 ×(
2



) ×(1-

2

)+C3 ×(

3

)=

3

, . ????8 分 60 0.1

所以 3 条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的概率为 (3)由题意,所用时间 X 的分布列如下表: X P 30 0.1 35 0.44 45 0.36

则 E(X)=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6, 所以此人*嗦飞纤檬奔涞氖谕 40.6 分钟.????12 分 19. (Ⅰ)证明:因为 DE / / BC ,且 ?C ? 90 , 所以 DE ? AD ,同时 DE ? DC , 又 AD ? DC ? D ,所以 DE ? 面 ACD . 又因为 DE / / BC ,所以 BC ? *面 ACD .???4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: BC ? *面 ACD ,又 AD ? *面 ADC , 所以 AD ? BC , ? 又因为 ?ADC ? 90 ,所以 AD ? DC . 又因为 BC ? DC ? C ,所以 AD ? *面 BCDE .
?

-5-

1 S ?EBC ? AD . 3 1 1 依题意, S ?EBC ? BC ? CD ? ? 4 ? 2 ? 4 . 2 2 1 8 所以, VE ? ABC ? ? 4 ? 2 ? .????8 分 3 3 (Ⅲ)分别取 AD, EA, AB 的中点 N , P, Q ,并连接 MN , NP, PQ, QM , 因为*面 ? / / *面 ACD ,所以*面 ? 与*面 ACD 的交线*行于 AC ,因为 M 是中点,所 以*面 ? 与*面 ACD 的交线是 ?ACD 的中位线 MN . 同理可证, 四边形 MNPQ 是*面 ? 截 四棱锥 A ? BCDE 的截面. 即: S ? SMNPQ . 由(Ⅰ)可知: BC ? *面 ACD ,所以 BC ? AC , 又∵ QM / / AC , MN / / BC ∴ QM ? MN . ∴四边形 MNPQ 是直角梯形.
所以, VE ? ABC ? VA? EBC ? 在 Rt ?ADC 中, AD ? CD ? 2 ∴ AC ? 2 2 .

1 1 1 AC ? 2 , NP ? DE ? 1 , MQ ? ? BC ? DE ? ? 3 . 2 2 2 1 ∴ S ? ?1 ? 3? ? 2 ? ? 2 2 .????12 分 2 20.解析: (1)依题意, 4a ? 4 2 , a 2 ? b 2 ? 1 所以 a ? 2 , b2 ? a 2 ? 1 ? 1 x2 ? y 2 ? 1 ??????????4 分 故椭圆 C 的方程为 2 (2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),P(x3,y3 ),Q(x4, y4 ) 直线 l 的方程为: x ? ty ? 1 ,直线 m 的方程为 x ? ty ? 4 | AF1 | | MF1 | | BF1 | 依题意得 ? ? | PN | | MN | | QN | |y | | y | y y y y 则 1 ? 2 ,可得 1 ? 3 ,令 1 ? 3 ? ? (? ? 0) ,??????6 分 |y3 | |y4 | y2 y4 y2 y4 MN ?

? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 消去 x,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2 2t ? y1 ? y2 ? 2 ? (1 ? ? ) 2 4t 2 ? t ?2 ?- 2 则? ,把 y1 ? ? y2 代入,整理,得 ① ? t ?2 ?y y ?? 1 ? 1 2 t2 ? 2 ? ? x ? ty ? 4 2 由? 2 消去 x,得 y ? 4ty ? 16 ? 0 , ? y ? 4x
则?

? y3 ? y4 ? 4t (1 ? ? )2 ? -t 2 ②????10 分 ,把 y3 ? ? y4 代入,整理,得 y y ? ? 16 ? ? 3 4

由①②消去 ? ,得

4t 2 ? t 2 ,解得 t ? 0 或 t ? 2 或 t ? ? 2 t2 ? 2
-6-

故直线 l 的方程为: x ? ?1 或 x ? 2 y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 1 ? 0 ????12 分 21.解析: (1) 则切线为 ,即 ,设切点为 , ,????2 分

又切线为

,所以



消 ,得 易得 (2)令 当 当 时, 时, 为减函数,且

,设 ,所以

, ??????4 分 ,所以 ,

,函数 ,函数 时, 时, 在

在 在

为单调递增; 为单调递减; ,??????????6 分 , 上单调递增,

所以 当 时,即 即 ,故 所以 因为 所以 ①+②得: 故当 时, 时,

,即 , ,即

,所以



①????8 分

,所以

, ,

②??????10 分

. ????????12 分

? 2 t ?x ? ? 2 22.解析: (1)因为直线的参数方程是 ? ( t 为参数) ,消去参数 t 得直线 l 的普通 2 ?y ? 3? t ? ? 2 方程为 x ? y ? 3 ? 0 .????????2 分 由曲线 C 的极坐标方程 ? cos2 ? ? 2sin ? ,得 ? 2 cos2 ? ? 2? sin ? .
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 2 y .????????5 分 (2)由 ?

? y ? x ? 3,
2 ? x ? 2 y,

得 x2 ? 2 x ? 6 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB 的中点 M ( 因为 x1 ? x2 ? 2 ,所以 M (1, 4) , 又点 P 的直角坐标为 (1,1) ,

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

-7-

所以 | PM |? 23.解析:

(1 ? 1) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 3 .??????10 分

(Ⅰ)∵ a ? 0 ,∴ f ? 0 ? ? a ? ? 解得 a ? ?2 或 ?

5 1 1 5 ? ?a ? ? ,即 a 2 ? a ? 1 ? 0 , 2 a a 2

1 ? a ? 0 . ????????5 分 2 1 a 3x ? a ? , x ? ? a 2 1 1 1 a (Ⅱ) f ? x ? ? 2x ? a ? x ? ? {? x ? a ? , ? x ? ? , a a a 2 1 1 ?3x ? a ? , x ? a a a a 1 1 a a 1 当 x ? ? 时, f ? x ? ? ? ? ;当 ? x ? ? 时, f ? x ? ? ? ? ; 2 2 a a 2 2 a 1 2 当 x ? 时, f ? x ? ? ?a ? . a a
∴ f ? x ?min ? ? ∴ f ?x? ?

a 1 a 1 ? a ? ? 1? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ,当且仅当 ? ? ? 即 a ? ? 2 时取等号, 2 a 2 a ? 2? ? a ?
??????????????12 分

2.

-8-




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