当前位置: 首页 > >

「精品」高中数学第一章坐标系复*课检测含解析新人教A版选修4_4

发布时间:

第一章 坐标系
复*课
[整合·网络构建]

精品资料 值得拥有

[警示·易错提醒]

1.关于伸缩变换的定义的易错点.

对于*面直角坐标系中的伸缩变换关系式?????xy′ ′= =λμ

x(λ y(μ

>0), 要区分(x,y)与(x′,
>0),

y′)的意义.在应用时必须注意:点(x,y)在原曲线上,点(x′,y′)在变换后的曲线上,

因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点(x′,y′)的坐标满足变换后的曲线方程.

2.关注直角坐标与极坐标互化的疑难点.

由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限,才能确定 θ 的大小.

3.处理极坐标系问题中的两个易错点.

(1)当极坐标方程中仅含 θ (不含 ρ )时,常常忽略 ρ 的正负导致判断错误.

(2) * 面 直 角 坐 标 系 中 两 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 之 间 的 距 离 |AB| =

(x1-x2)2+(y1-y2)2,极坐标系中两点 P1(ρ 1,θ 1),P2(ρ 2,θ 2)之间的距离|P1P2|=

ρ 21+ρ 22-2ρ 1ρ 2cos(θ 1-θ 2).在应用时往往因记忆不清而导致计算错误.

专题一 *面上的伸缩变换 1.点 P(x,y)变为点 Q(x′,y′)的伸缩变换为: ??x′=λ x(λ >0), ???y′=μ y(μ >0). 2.变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者,若知道其中的两个,我们 可以求出第三个.但在进行伸缩变换时,要注意点的对应性,即分清新旧坐标,P(x,y)是 变换前的坐标,Q(x′,
1

精品资料 值得拥有

y′)是变换后的坐标.

[例 1] 在同一*面直角坐标系中,经过伸缩变换?????xy′ ′= =22xy,后,曲线 C 变成曲线(x′ -5)2+(y′+6)2=1,求曲线 C 的方程,并判断其形状.

点拨:考查伸缩变换?????xy′′==λμ

x(λ y(μ

>0), 将新坐标代入到已知曲线中,即可得到原曲
>0),

线方程.

解:将???x′=2x,代入(x′-5)2+(y′+6)2=1 中得: ??y′=2y
(2x-5)2+(2y+6)2=1,

化简得曲线 C 的方程为???x-52???2+(y+3)2=14,

则该曲线是以???52,-3???为圆心,12为半径的圆.

归纳升华

函数 y=f(ω x)(x∈R)(其中 ω >0,且 ω ≠1)的图象,可以看做把 f(x)图象上所有点的

横坐标缩短(当

ω

>1

时)或伸长(当

0<ω

<1

1 时)为原来的ω

(纵坐标不变)而得到的.函数

y=

Af(x)(x∈R)(其中 A>0,且 A≠1)的图象,可以看做把 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当

A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.图形变换中的伸缩变换

我们可记作?????xy′′==λμ

x(λ y(μ

>0), 在使用时,需分清新旧坐标.
>0),

[变式训练] 在*面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ :?????xy′ ′= =-3x, 2y,求曲线 y2=2x 经

过 φ 变换后所得的曲线方程.

解:设 P′(x′,y′)是直线 l′上任意一点.

????? 由伸缩变换 φ :?????xy′ ′= =-3x, 2y,得

x=x′ 3 , y=-21y′,

代入 y2=2x,得14y′2=23x′,

即 y′2=83x′,

因此变换后曲线的方程为 y′2=83x′.

专题二 直线和圆的极坐标方程

2

精品资料 值得拥有

直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型,一般思路是将曲线上的点满足

的几何条件用坐标表示出来,然后化简、整理.应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程,如 ρ =2acos θ (a≠0),ρ =2asin θ (a≠0),ρ =r(r>0)及 ρ cos θ =a,ρ sin θ =a, θ =α ,ρ =2acos(θ -α )(α ≠2kπ ,k∈Z).
[例 2] 在直角坐标系 Oxy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C

的极坐标方程为 ρ cos???θ -π3 ???=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

解:(1)由 ρ

cos???θ

-π3 ???=1 得 ρ

???12cos

θ



3 2 sin

θ

???=1,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+ 3y=2, 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0),

当 θ =π2 时,ρ =2 3 3,所以 N???2 3 3,π2 ???. (2)点 M 的直角坐标为(2,0),

点 N 的直角坐标为???0,2 3 3???,

所以 MN 的中点 P 的直角坐标为???1, 33???,

所以点 P 的极坐标为???2 3 3,π6 ???,

所以直线 OP 的极坐标方程为 θ =π6 (ρ ∈R).

归纳升华

此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力,应掌握把极坐标方程化为直角

坐标方程的常用方法. [变式训练] 在极坐标系中,P 是曲线 ρ =12sin θ 上的动点,Q 是曲线 ρ =

12cos???θ -π6 ???上的动点,试求|PQ|的最大值.
解:因为 ρ =12sin θ ,所以 ρ 2=12ρ sin θ , 所以 x2+y2-12y=0, 即 x2+(y-6)2=36.

又因为 ρ =12cos???θ -π6 ???,

3

所以 ρ

2=12ρ

???cos

θ

cos

π 6

+sin

θ

sin

π 6

???,

所以 x2+y2-6 3x-6y=0,

所以(x-3 3)2+(y-3)2=36,

所以|PQ|max=6+6+ (3 3)2+32=18. 专题三 极坐标与直角坐标互化 如图所示,互化公式为:

精品资料 值得拥有

x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ
ρ 2=x2+y2,tan θ =yx(x≠0)
对于 tan θ =yx中 θ 值的确定,还要根据点(x,y)所在的象限,确定一个适合的角度. [例 3] ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ =4cos θ ,ρ =-4sin θ . (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1 和⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 解:(1)x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ , 由 ρ =4cos θ 得 ρ 2=4ρ cos θ , 所以 x2+y2=4x, 即 x2+y2-4x=0 为⊙O1 的直角坐标方程. 同理 x2+y2+4y=0 为⊙O2 的直角坐标方程. (2)由?????xx22++yy22-+44xy==00,,解得?????yx11==00,,?????xy22= =2-,2. 即⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和(2,-2). 过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x.
归纳升华 极坐标和直角坐标互化时,要注意必须是极点与原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, 且两种坐标系取相同的单位长度. [变式训练] (2016·北京卷)在极坐标中,直线 ρ cos θ - 3ρ sin θ -1=0 与圆 ρ =2cos θ 交于 A,B 两点,则|AB|=________. 解析:因为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,
4

精品资料 值得拥有
所以直线的直角坐标方程为 x- 3y-1=0. 因为 ρ =2cos θ ,所以 ρ 2(sin2θ +cos2θ )=2ρ cos θ , 所以 x2+y2=2x. 所以圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. 因为圆心(1,0)在直线 x- 3y-1=0 上, 所以 AB 为圆的直径,所以|AB|=2. 答案:2 专题四 数形结合思想 运用坐标方法研究曲线的形状与性质是典型的数形结合思想的体现.坐标系的建立,使 直观的几何图形问题得以用数量运算得以解决. [例 4] 在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与圆 ρ =4 相交于 A,B 两点,若 |AB|=4,求直线 l 的极坐标方程. 解:设直线 l 与极轴相交于点 C.如图所示,在 Rt△OAC 中,
|OC|= |OA|2-|AC|2= 42-22=2 3.
设直线 l 上的任意一点为 M(ρ ,θ ), 则直线 l 的极坐标方程为 ρ cos θ =2 3.
归纳升华 求曲线的极坐标方程与求其直角坐标方程的方法类同,就是找出动点 M 的坐标 ρ 与 θ 之间的关系,然后列出方程 f(ρ ,θ )=0,再化简并检验特殊点.
[变式训练] 在极坐标系中,求半径为 2,圆心为 C???2,32π ???的圆的极坐标方程. 解:由题意知圆经过极点 O,OA 为圆的一条直径,设 M(ρ ,θ )为圆上除点 O,A 以外
的任意一点,如图所求,
则|OA|=2×2,OM⊥MA, 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|·cos∠AOM,
5

精品资料 值得拥有

即 ρ =4cos???32π -θ ???,故 ρ =-4sin θ . 经验证知点 O(0,0),A???4,32π ???的坐标皆满足上式,
所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ =-4sin θ . 专题五 转化与化归思想

“化归”是转化与归结的简称,是对数学知识的迁移与数学解题方法的形象概括,表现

为化此为彼,化难为易,化隐为显,具体地说,就是化抽象为具体,化未知为已知,化一般

为特殊等.转化有等价转化与非等价转化两种,非等价转化常用于证明题或不等式,等价转

化常用于解方程或不等式.在 ρ ≥0,0≤θ <2π 时,极坐标方程与直角坐标方程的相互转 化也属于等价转化,同时要注意以下两点:

(1)互化条件:极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,单位长度相同.

(2)互化公式:?????xy= =ρρ

cos sin

θ θ

, ??ρ 2=x2+y2, 或???tan θ =xy(x≠0),θ

由点(x,y)所在的象限确定.

[例 5] 已知极坐标方程 C1:ρ =10,C2:ρ sin???θ -π3 ???=6. (1)化 C1,C2 的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求 C1,C2 交点间的距离. 解:(1)由 C1:ρ =10,得ρ 2=100, 所以 x2+y2=100,所以 C1 为圆心在(0,0),半径等于 10 的圆.

由 C2:ρ sin???θ -π3 ???=6,

得 ρ ???12sin θ - 23cos θ ???=6,

所以 y- 3x=12,即 3x-y+12=0,所以 C2 表示直线.

(2)由于圆心(0,0)到直线 3x-y+12=0 的距离为

d=

12

=6<r=10,

( 3)2+(-1)2

所以直线被圆截得的弦长,即 C1,C2 交点间的距离为 |C1C2|=2 r2-d2=2 102-62=16.
归纳升华

将极坐标化为直角坐标,确定圆的直角坐标方程,再将圆的直角坐标方程化成圆的极坐

标方程.

[变式训练] 在极坐标系中,求圆 ρ =8sin θ 上的点到直线θ =π3 (ρ ∈R)距离的最

6

精品资料 值得拥有

大值. 解:圆 ρ =8sin θ 化为直角坐标方程为 x2+y2-8y=0,即 x2+(y-4)2=16,直线 θ

=π3 (ρ ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3x,结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为

圆心到直线的距离再加*刖叮

圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为

4

=2,又圆的半径 r=4,

( 3)2+12

所以圆上的点到直线的最大距离为 6.

7




友情链接: