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精品高中数学第一章坐标系复*课检测含解析新人教A版选修4_4

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最新整理,精品资料 高中数学第一章坐标系复*课检测含解析新人教 A 版选 修 4_4 复 * 课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1.关于伸缩变换的定义的易错点. 对于*面直角坐标系中的伸缩变换关系式要区分(x,y)与(x′, y′)的意义. 在应用时必须注意: 点(x, y)在原曲线上, 点(x′, y′) 在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程,点 (x′,y′)的坐标满足变换后的曲线方程. 2.关注直角坐标与极坐标互化的疑难点. 由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限,才能确定 θ 的大小. 3.处理极坐标系问题中的两个易错点. (1)当极坐标方程中仅含 θ (不含 ρ )时, 常常忽略 ρ 的正负导致 判断错误. (2)*面直角坐标系中两点 A(x1,y1), B(x2, y2)之间的距离|AB| =,极坐标系中两点 P1(ρ 1,θ 1),P2(ρ 2,θ 2)之间的距离|P1P2| =+ρ -2ρ 1ρ 2cos(θ 1-θ 2)).在应用时往往因记忆不清而导致 计算错误. 专题一 *面上的伸缩变换 1.点 P(x,y)变为点 Q(x′,y′)的伸缩变换为: 2. 变换前的曲线方程、 变换后的曲线方程、 伸缩变换三者, 若知 interesting. I also like playing soccer and basketball with my My name is Mary Gree n. My 1/7 最新整理,精品资料 道其中的两个,我们可以求出第三个.但在进行伸缩变换时,要注意 点的对应性,即分清新旧坐标,P(x,y)是变换前的坐标,Q(x′, y′)是变换后的坐标. [例 1] 在同一*面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线 C 变 成曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲线 C 的方程,并判断其形状. 点拨:考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中,即可得到原曲 线方程. 解:将代入(x′-5)2+(y′+6)2=1 中得: (2x-5)2+(2y+6)2=1, 化简得曲线 C 的方程为+(y+3)2=, 则该曲线是以为圆心,为半径的圆. 归纳升华 函数 y=f(ω x)(x∈R)(其中 ω >0,且 ω ≠1)的图象,可以看做 把 f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当 ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时) 为原来的(纵坐标不变)而得到的. 函数 y=Af(x)(x∈R)(其中 A>0, 且 A≠1)的图象,可以看做把 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的. 图形变 换中的伸缩变换我们可记作在使用时,需分清新旧坐标. [变式训练] 在*面直角坐标系中, 已知伸缩变换 φ : 求曲线 y2 =2x 经过 φ 变换后所得的曲线方程. 解:设 P′(x′,y′)是直线 l′上任意一点. x′ x= , ? ? 3 由伸缩变换 φ :得? 1 y=- y′, ? ? 2 代入 y2=2x,得 y′2=x′, 即 y′2=x′, interesting. I also like playing soccer and basketball with my My name is Mary Gree n. My 2/7 最新整理,精品资料 因此变换后曲线的方程为 y′2=x′. 专题二 直线和圆的极坐标方程 直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型, 一般思 路是将曲线上的点满足的几何条件用坐标表示出来,然后化简、整 理. 应掌握几种常见直线和圆的极坐标方程, 如 ρ =2acos θ (a≠0), ρ =2asin θ (a≠0),ρ =r(r>0)及 ρ cos θ =a,ρ sin θ =a,θ =α ,ρ =2acos(θ -α )(α ≠2kπ ,k∈Z). [例 2] 在直角坐标系 Oxy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos=1, M, N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 解:(1)由 ρ cos=1 得 ρ =1, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=2, 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0), 当 θ =时,ρ =,所以 N. (2)点 M 的直角坐标为(2,0), 点 N 的直角坐标为, 所以 MN 的中点 P 的直角坐标为, 所以点 P 的极坐标为, 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ =(ρ ∈R). 归纳升华 此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力, 应掌握 把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法. [变式训练] 在极坐标系中,P 是曲线 ρ =12sin θ 上的动点, interesting. I also like playing soccer and basketball with my My name is Mary Gree n. My 3/7 最新整理,精品资料 Q 是曲线 ρ =12cos 上的动点,试求|PQ|的最大值. 解:因为 ρ =12sin θ ,所以 ρ 2=12ρ sin θ , 所以 x2+y2-12y=0, 即 x2+(y-6)2=36. 又因为 ρ =12cos, 所以 ρ 2=12ρ , 所以 x2+y2-6x-6y=0, 所以(x-3)2+(y-3)2=36, 所以|PQ|max=6+6+=18. 专题三 极坐标与直角坐标互化 如图所示,互化公式为: 对于 tan θ =中 θ 值的确定,还要根据点(x,y)所在的象限, 确定一个适合的角度. [例 3] ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ =4cos θ ,ρ =- 4sin θ . (1)把⊙O1



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